Trygonometria I seria

1. Dla dowolnej liczby naturalnej n przyjmujemy x_{n} = n · sin n^{∘}. Udowodnij, że

x_{2} + x_{4} + … + x_{180} = 90 · ctg1^{∘}.

2. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n i każdej liczby rzeczywistej x z przedziału (0, π) zachodzi równość

sin x + \frac{sin 3x}{3} + … + \frac{sin(2n − 1)x}{2n − 1} > 0.

3. Dla danych liczb rzeczywistych a_{1}, a_{2}, …, a_{n} oraz b_{1}, b_{2}, …, b_{n} rozważmy funkcj_{}e f określon _{}a wzorem

f(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i} cos(b_{i} + x).

Udowodnij, że jeśli f(0) = f(1) = 0, to f(x) = 0 dla każdego x.

Trygonometria II seria

4. Udowodnij, że jeśli cos x = cos y oraz sin x = − sin y, to sin(1998x) + sin(1998y) = 0.

5. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność

∑_{k=0}^{n} | cos(2^{k}x)| ≥ \frac{n}{2}.

6. Niech P b_{}edzie takim wielomianem dwóch zmiennych, że dla każdej liczby rzeczywistej t zachodzi równość P (cos t, sin t) = 0. Udowodnij, że istnieje wielomian dwóch zmiennych Q taki, że

P (x, y) = (x^{2} + y^{2} − 1) · Q(x, y)

Trygonometria III seria

7. Znajdź wszystkie współmierne z π liczby α takie, że cos α jest wymierne.

8. Ci _{}ag (a_{n}) zadany jest w nast_{}epuj _{}acy sposob: a_{1} = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 − \sqrt{4 − (a_{n})^{2}}}. Oblicz

lim_{n→∞} 2^{n}a_{n}.