Geometria kombinatoryczna seria 0.I

0.I.1 Każda figura o stałej szerokości d ma obwód πd.

0.I.2 Spośród figur wypukłuch o średnicy d najwi_{}eksze pole ma koło. UWAGA: Figur _{}a o stałej szerokości d o najmniejszym polu jest trójk _{}at Reuleaux.

Geometria kombinatoryczna seria 0.II

0.II.1 Problem Kakei Jakie jest najmniejsze pole figury płaskiej, w której można odcinek jednostkowy obrócić o 180^{∘}?

0.II.2 Zagadnienie izoperymetryczne Udowodnić, że spośród figur o tym samym obwodzie najwi_{}eksze pole ma koło.

UWAGA: Stosunkowo łatwo pokazać, że jeśli taka figura istnieje, to jest ni _{}a koło — dowód istnienia takiej figury jest trudny.

Geometria kombinatoryczna I seria

1. Udowodnić, że ze wszystkich izoperymetrycznych n-k _{}atów najwi_{}eksze pole ma n-k _{}at foremny.

2. Wielok _{}atem przegubowym o bokach długości a_{1}, a_{2}, …, a_{n} nazywamy dowolny wielok _{}at, którego kolejne boki maj _{}a długości a_{1}, a_{2}, …, a_{n}. Udowodnić, re najwi_{}eksze pole ma ten wielok _{}at przegubowy, na którym można opisać okr _{}ag.

Czy kolejność boków wpływa na pole tego wielok _{}ata?

3. Udowodnić, że suma odległości dowolnego punktu czworościanu foremnego od jego wierzchołków jest niewi_{}eksza niż 3.