Funkcje seria 0

0.1 Wielomian całkowitoliczbowy ax^{2} + bx + c daje wartości b_{}ed _{}ace kwadratami liczb naturalnych dla wszystkich x naturalnych. Udowodnij, że wielomian ten jest kwadratem innego wielomianu całkowitoliczbowego.

0.2 Niech π b_{}edzie dowoln _{}a permutacj _{}a zbioru {1, 3, …, 2n − 1}. Udowodnij, że zachdzi nast_{}epuj _{}aca nierówność:

∑_{i=1}^{n} \sqrt{i^{2} + π(i)^{2}} ≥ \frac{n}{2}\sqrt{1 + 5n^{2}}.

0.3 Ci _{}ag (a_{n}) zadany jest w nast_{}epuj _{}acy sposob: a_{1} = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 − \sqrt{4 − (a_{n})^{2}}}. Oblicz

lim_{n→∞} 2^{n}a_{n}.

Funkcje I seria

1. Udowodnij, że jeśli f jest niestał _{}a funkcj _{}a rzeczywist _{}a tak _{}a, że

f(x − 1) + f(x + 1) = \sqrt{3}f(x),

to f jest okresowa. Znajdź najmniejszy okres f.

2. Niech ℕ oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taka funkcja f : ℕ → ℕ, że dla każdego n ∈ ℕ zachodzi równość f(f(n)) = 2n.

3. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℤ → ℤ spełniaj _{}ace dla każdego x ∈ ℤ warunek

3f(x) − 2f(f(x)) = x.

Funkcje II seria

4. Dana jest funkcja f : ℕ → ℕ, dla której f(n + 1) > f(f(n)) dla każdego n ∈ ℕ. Udowodnij, że f(n) = n dla każdego n.

5. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace równanie:

f(x^{2} + y) + f(f(x) − y) = 2f(f(x)) + 2y^{2}

dla wszystkich x, y ∈ ℝ.

Funkcje III seria

6. Udowodnij, że każdy trójk _{}at pitagorejski o przyprostok _{}atnych, których długości boków s _{}a kolejnymi liczbami naturalnymi, ma boki postaci f^{k}(3, 4, 5), gdzie f jest funkcj _{}a zdefiniowan _{}a nastepuj _{}aco: f(x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2), zaś f^{k}, gdzie k ∈ ℕ, oznacza k-krotne złożenie f.

7. Niech f : ℝ − \{0, …, 99\} → ℝ b_{}edzie określona wzorem f(x) = ∑_{k=0}^{99} \frac{1}{x−k}. Znaleźć miar_{}e tej cz_{}eści odcinka [0, 100], że f(x) ≥ 1.