Ci _{}agi seria 0

0.1 Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność

∑_{k=0}^{n} | cos(2^{k}x)| ≥ \frac{n}{2}.

0.2 Znajdź wszystkie współmierne z π liczby α takie, że cos α jest wymierne.

0.3 Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n i każdej liczby rzeczywistej x z przedziału (0, π) zachodzi nierówność

sin x + \frac{sin 2x}{2} + … + \frac{sin nx}{n} > 0.

Ci _{}agi I seria

1. Ci _{}ag (a_{n}) jest określony nast_{}epuj _{}aco:

a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 15, a_{n} = 15a_{n−2} − 4a_{n−3}.

Udowodnij, że jeśli liczba a_{n} jest pierwsza, to n też jest pierwsza.

2. Rozważmy ci _{}ag (x_{n}) określony nast_{}epuj _{}aco:

x_{1} = a, x_{2} = b, x_{n+2} = x_{n+1} + x_{n},

gdzie a i b s _{}a liczbami rzeczywistymi.

Liczb_{}e c b_{}edziemy nazywać wartości _{}a wielokrotn _{}a ci _{}agu (x_{n}), jeżeli istniej _{}a co najmniej dwie różne liczby całkowite dodatnie k i l takie, że x_{k} = x_{l} = c.

Wykaż, że nie można tak dobrać liczb a i b, aby ci _{}ag miał nieskończenie wiele wartości wielokrotnych.

Ci _{}agi II seria

3. Ci _{}ag (a_{n}) określony jest nast_{}epuj _{}aco:

• a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 3

• a_{n+1} = a_{n} − a_{n−1} + \frac{a_{n}^{2}}{a_{n−2}}

Udowodnij, że żaden wyraz tego ci _{}agu nie jest podzielny przez 4.

4. Dana jest liczba naturalna k. Określamy ci _{}ag (a_{n}) wzorami

a_{1} = k + 1, a_{n+1} = a_{n}^{2} − ka_{n} + k.

Wykaż, że jeśli m ≠ n, to liczby a_{m} i a_{n} s _{}a wzgl_{}ednie pierwsze.

Ci _{}agi III seria

5. Wielomian całkowitoliczbowy ax^{2} + bx + c daje wartości b_{}ed _{}ace kwadratami liczb naturalnych dla wszystkich x naturalnych. Udowodnij, że wielomian ten jest kwadratem innego wielomianu całkowitoliczbowego.

6. Niech π b_{}edzie dowoln _{}a permutacj _{}a zbioru {1, 3, …, 2n − 1}. Udowodnij, że zachdzi nast_{}epuj _{}aca nierówność:

∑_{i=1}^{n} \sqrt{i^{2} + π(i)^{2}} ≥ \frac{n}{2}\sqrt{1 + 5n^{2}}.

7. Ci _{}ag (a_{n}) zadany jest w nast_{}epuj _{}acy sposob: a_{1} = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 − \sqrt{4 − (a_{n})^{2}}}. Oblicz

lim_{n→∞} 2^{n}a_{n}.